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Pour un bon départ

Fenêtre culturelle

Le mathématicien Descartes a introduit le symbole (qu’on lit radical) en 1637 après
le mathématicien Christophe Rudolf, qui inventa le même symbole, mais sans la barre
supérieure, en 1525. La notion de racine carrée a précédé sa notation, elle apparut chez les
babyloniens, comme le témoigne la tablette référencée YBC 7 289 que les archéologues ont
trouvé parmi un demi- million de tablettes d’argile dont quelques milliers contiennent des
énoncés mathématiques. Cette tablette, petite et ronde, qu’on peut tenir dans la paume de la
main, très célèbre historiquement pour son contenu qui donne la première valeur approchée

Diagonale d'un carré
du rapport qui n’est en notation de Descartes que 2 , cette valeur est :
Côté de ce carré
24 51 10
1 + + + en système de base60 .
60 60 2 60 3
Les mathématiciens grecs ont montré que 2 n’est pas un nombre rationnel (positif)
c’est-à-dire qu’on ne peut exprimer sous forme de quotient de deux entiers naturels, et ils l’ont
qualifié de nombre irrationnel (contredit la raison) parce qu’il a choqué l’école pythagoricienne
qui croyait avec force que toute chose est nombre, et tout nombre est rationnel (positif) car les
nombres négatifs n’existent pas encore en ce moment.
Le mathématicien Grec Héron d’Alexandrie, né le 10 après J.C, était un ingénieur et mé-
canicien qui a laissé plusieurs inventions, a donné un algorithme pour trouver des valeurs
approchées de la racine carrée d’un nombre rationnel positif et il a aussi trouvé une formule
qui porte son nom et qui donne l’aire A d’un triangle dont on connait les longueurs , et ab c

++
à savoir : A = ( ss a )(s b )(s c où (s = abc ) . Il s’est intéressé à des types particu-
−
−
)
−

2
liers de triangles dits Héroniens, dont les longueurs et l’aire sont des nombres rationnels. Ce
problème, très riche, a intéressé beaucoup de mathématiciens, les mathématiciens Euler, Brah-
ma-gupta et Carmichael ont caractérisé les triangles Héroniens.
Au sixième siècle, le mathématicien indien, Brahma-Gupta, a généralisé la formule de
Héron et il a trouvé une formule pour calculer l’aire A d’un quadrilatère convexe inscrit dans un
cercle en fonction des longueurs , , et dabc de ses côtés qui est A = (sa )(s b )(s c )(sd )
−
−
−
−
+
+
abc d (ac )(bd )
+
++
où s = . Et affirme que une valeur approchée de cette aire est : 2 × 2 .
Questions : 2
1- Donner une valeur approchée de 2 à 0,001 près par l’algorithme de Héron.

2- Donner des exemples de triangles Héroniens.
3- Vérifier les formules d’Héron et de Brahma-Gupta pour des cas particuliers.
Vocabulaire
Racine carrée - Carré parfait - Dupliquer - Base 60 - Base 10 - Fraction - Dénominateur -
Expression conjuguée.

14 Chpaitre 1 Racines carrées